Dividimos toda la ecuación entre 36. [ \frac4x^236 + \frac9y^236 + \fracz^236 = \frac3636 ] [ \fracx^29 + \fracy^24 + \fracz^236 = 1 ]
Identifica y describe la superficie: [ 4x^2 + 9y^2 + 16z^2 = 144 ]
Mediante traslaciones y rotaciones (completando cuadrados), esta ecuación se reduce a una de las siguientes formas canónicas: (Todas las variables al cuadrado y positivas). Hiperboloide de una hoja: (Un término negativo). Hiperboloide de dos hojas: (Dos términos negativos). Cono elíptico:
Es un elipsoide con semiejes:
4x236+9y236+36z236=3636⟹x29+y24+z2=1the fraction with numerator 4 x squared and denominator 36 end-fraction plus the fraction with numerator 9 y squared and denominator 36 end-fraction plus the fraction with numerator 36 z squared and denominator 36 end-fraction equals 36 over 36 end-fraction ⟹ the fraction with numerator x squared and denominator 9 end-fraction plus the fraction with numerator y squared and denominator 4 end-fraction plus z squared equals 1
Trazas horizontales son elipses; trazas verticales son hipérbolas. Es una superficie conexa. Trazas horizontales son elipses para $ Cono Elíptico
4x2+y2−4z2−8x+4y+24z−36=04 x squared plus y squared minus 4 z squared minus 8 x plus 4 y plus 24 z minus 36 equals 0 Agrupar los términos de las mismas variables: superficies cuadraticas ejercicios resueltos hot
Cuando te enfrentes a estos problemas bajo presión, sigue este algoritmo mental: ¿Falta alguna variable? →right arrow Es un . ¿Hay una sola variable lineal y dos cuadráticas? →right arrow Es un paraboloide . ¿Están las tres variables al cuadrado? →right arrow Mira los signos tras igualar a 1: Tres positivos: Elipsoide . Un negativo: Hiperboloide de 1 hoja . Dos negativos: Hiperboloide de 2 hojas . Igualado a 0: Cono .
z−2x2+4x−y2=0z minus 2 x squared plus 4 x minus y squared equals 0 Aislar la variable lineal Observamos que la variable
Si la ecuación no está en el origen, este paso es obligatorio para encontrar el centro Analiza las trazas: Fija una variable ( Dividimos toda la ecuación entre 36
, el eje de simetría de este hiperboloide es paralelo al eje 3. Identificación de un paraboloide descentrado
Hemos recorrido desde la identificación básica hasta problemas con traslación y completado de cuadrados. La clave está en reconocer los patrones de signos y los términos lineales. Recuerda:
(Parábola que abre hacia abajo). Dato: El punto (0,0,0) es un punto de silla. Ejercicio 3: Completando el cuadrado Identifica la superficie Solución: Agrupamos términos y completamos cuadrados para Dividimos entre 9: Hiperboloide de dos hojas: (Dos términos negativos)
: Despejamos la variable lineal para llevarla a una forma conocida. z equals 4 x squared plus y squared Identificar el tipo : Observamos que es una ecuación donde una variable ( ) es de primer grado y las otras dos (
